最尤推定・ベイズを“数式の意味”から理解する

統計を学ぶと必ず出会う「最尤推定」と「ベイズ」。式だけ見ると身構えてしまうが、言っていること自体はとても直感的だ。意味からつかんでおくと、教科書の数式が一気に読みやすくなる。

最尤推定 ―「いちばんありそうな説明を選ぶ」

手元にデータがある。そのデータを「最もうまく説明できる」パラメータはどれか——最尤推定がやっているのは、突き詰めればこれだけだ。「このデータが得られる“尤もらしさ（likelihood）”を、いちばん大きくするパラメータを選ぶ」。

• コインを10回投げて7回表が出た。「表の確率」をいくつと推定すべきか？
• 「7/10＝0.7のとき、この観測がいちばん起こりやすい」——これが最尤推定の答え。

数式（尤度関数の最大化）は、この直感を厳密に書いただけだ。

ベイズ ―「事前の信念を、データで更新する」

ベイズの発想はもう一つの自然な考え方だ。「最初に持っていた信念（事前分布）を、データを見て更新する（事後分布）」。

• 最初は「コインは公正だろう」と思っている（事前）。
• 7回表が出た（データ）。
• それを踏まえて「少し表が出やすいかも」と信念を更新する（事後）。

ベイズの定理は、この「信念の更新」を確率の言葉で書いた式にすぎない。

二つはどう違うのか

• 最尤推定：データだけから「いちばんありそう」を選ぶ。
• ベイズ：事前の信念とデータを組み合わせる。

どちらが正しいというより、問いの立て方が違う。この意味をつかんでおくと、久保川や竹村の教科書で出てくる式が「ああ、あの話か」と腑に落ちる。

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